Question

設(shè)有兩個(gè)命題p、q，其中命題p：對于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立；命題q：f（x）=（4a-3）^x在R上為減函數(shù)．如果兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

3

4

，1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可得不等式ax²+2x+1＞0恒成立時(shí)，a的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性我們可得f（x）=（4a-3）^x在R上為減函數(shù)時(shí)，a的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，分p為真命題，q為假命題，和p為假命題，q為真命題兩種情況討論可得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：若命題p：對于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立
當(dāng)a=0時(shí)，2x+1＞0不恒成立； 
當(dāng)

a＞0 △=4-4a＜0

時(shí)?a＞1．
所以命題p為真命題?a＞1．
命題q為真命題?0＜4a-3＜1?

3

4

＜a＜1．
∵兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題
若p為真命題，q為假命題，a＞1； 
若p為假命題，q為真命題，

3

4

＜a＜1；
∴a的取值范圍是（

3

4

，1）∪（1，+∞）
故答案為：（

3

4

，1）∪（1，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析出兩個(gè)命題對應(yīng)的a的取值范圍是解答的關(guān)鍵．