Question

甲、乙兩地相距200千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過50千米/小時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/小時的平方成正比，比例系數為0.02；固定部分為50元/小時．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為

200

v

小時，由此能求出全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數關系和函數的定義域．
（2）令f（v）=

10000

v

+4v，設0＜v1＜v2 ≤50，則f（v₁）-f（v₂）=

10000

v1

+4v1-(

10000

v2

+4v2)，由此能求出為了使全程運輸成本最小，汽車應以50千米/時的速度行駛．

解答：解：（1）∵甲、乙兩地相距200千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過50千米/小時，
汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：
可變部分與速度v千米/小時的平方成正比，比例系數為0.02；固定部分為50元/小時．
∴汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為

200

v

小時，（1分）
全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數關系是：
y=（50+0.02v²）•

200

v

=

10000

v

+4v，v∈（0，50]．（5分）
（2）令f（v）=

10000

v

+4v，
設0＜v1＜v2 ≤50，（6分）
f（v₁）-f（v₂）=

10000

v1

+4v1-(

10000

v2

+4v2)，（8分）
由v₁＜v₂，得v₁-v₂＜0，又v₁＜v₂≤50，得v₁v₂＜2500，且v₁v₂＞0，
∴f（v₁）＜f（v₂）＜0，（10分）
則f（v）在（0，50]上單調遞減，（11分）
∴f（v）_min=f（50）．
答：為了使全程運輸成本最小，汽車應以50千米/時的速度行駛．（12分）

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．