Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥A₁B，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求證：平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設AB₁∩A₁B=O，連接OD，利用直線OD與直線B₁C平行，來推導出B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）由AB=BB₁得ABB₁A₁正方形⇒A₁B⊥AB₁，再由A₁B⊥AC₁⇒A₁B⊥平面AB₁C₁⇒平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
解答：解：（Ⅰ）設AB₁∩A₁B=O，連接OD．
由于點O是AB₁的中點，又D為AC的中點，所以OD∥B₁C（5分）
而B₁C?平面A₁BD，OD?平面A₁BD，所以B₁C∥平面A₁BD（7分）
（Ⅱ）因為AB=BB₁，所以是ABB₁A₁正方形，則A₁B⊥AB₁，
又A₁B⊥AC₁，且AC₁，AB₁?平面AB₁C₁，AC₁∩AB₁=A，所以A₁B⊥平面AB₁C₁（12分）
而A₁B?平面ABB₁A₁，所以平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁（14分）
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質以及線面平行的判定．在證明線面平行時，其常用方法時轉化為線線平行或面面平行．