Question

設函數
（1）當時，求f（x）的最大值．
（2）令，以其圖象上任一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當時，，

易知f（x）在（0，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減，故f（x）的最大值為．（6分）
（2），．
由題意，x₀∈（0，3]恒成立，即在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知當x₀=1時，取得最大值，
故． （12分）
分析：（1）當時，求出f（x），進而求得f′（x），由f′（x）的符號判斷f（x）的單調性，根據單調性求出f（x）的最大值．
（2）求出，由題意可得 在x₀∈（0，3]上恒成立，易知當x₀=1時，取得最大值，由此求得實數a的取值范圍．
點評：本題主要考查利用導數求曲線在某點的切線斜率，求二次函數在閉區間上的最值，利用導數求函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．