Question

某校有一貧困學生因病需手術治療，但現在還差手術費1.1萬元，團委計劃在全校開展愛心募捐活動，為了增加活動的趣味性吸引更多學生參與，特舉辦“搖獎100%中獎”活動。凡捐款10元者，享受一次搖獎機會，如圖是搖獎機的結構示意圖，搖獎機的旋轉盤是均勻的，扇形區域A，B，C，D，E所對應的圓心角的比值分別為1：2：3：4：5。相應區域分別設立一、二、三、四、五等獎，獎品分別為價值分別為5元、4元、3元、2元、1元的學習用品。搖獎時，轉動圓盤片刻，待停止后，固定指針指向哪個區域（邊線忽略不計）即可獲得相應價值的學習用品（如圖指針指向區域C，可獲得價值3元的學習用品），
（Ⅰ）預計全校捐款10元者將會達到1500人次，那么除去購買學習用品的款項后，剩余款項是否能幫助該生完成手術治療？
（Ⅱ）如果學生甲捐款20元，獲得了兩次搖獎機會，求他獲得價值6元的學習用品的概率。

Answer 1

解：（Ⅰ）設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為A，B，C，D，E，
則其概率分別為
，         
設搖獎一次支出的學習用品相應的款項為ζ，
則ζ的分布列為：                               

，
若捐款10元者達到1500人次，
那么購買學習用品的款項為1500ζ=3500（元），
除去購買學習用品的款項后，
剩余款項為（元），
故剩余款項可以幫助該生完成手術治療。
（Ⅱ）記事件20元獲得價值6元的學習用品F，
則，
即學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品的概率為。