Question

已知函數f（x）=cos2x+2sinxcosx
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求出此時x的值；
（Ⅱ）若f(

θ

2

)=

1

3

2

，求cos(

π

4

-θ)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數的解析式，可利用三角恒等變換，將函數化為y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式，然后可得其最大值為|A|．
（Ⅱ）由f(

θ

2

)=

1

3

2

 求得sin（θ+

π

4

）=

1

3

，再根據 cos(

π

4

-θ)=sin（θ+

π

4

）求得結果．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
故函數的最大值為

2

，此時，由 2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z，
求得 x=kπ+

π

8

，k∈z．
（Ⅱ）由f(

θ

2

)=

1

3

2

=

2

sin（θ+

π

4

），可得sin（θ+

π

4

）=

1

3

，
∴cos(

π

4

-θ)=sin[

π

2

-（

π

4

-θ）]=sin（θ+

π

4

）=

1

3

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、以及誘導公式的應用，屬于中檔題．