Question

已知．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間；
（II）令a=2，若經過點A（3，0）可以作三條不同的直線與曲線y=f（x）相切，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=，x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得x=a，或x=a．由此根據a的取值進行分類討論，能求出f（x）的單調遞增區間．
（II）設切點為P（x，y），切線斜率為k，則關于x的方程=有三個不等實根，即b=，由此入手能夠推導出當b∈（）時，可作三條切線．
解答：解：（I）∵，
∴
=
=，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x=a，或x=a．
①當0＜a＜1時，f（x）的單調遞增區間為（0，a），（1，+∞）；
②當a=1時，f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
③當a＞1時，f（x）的單調遞增區間是（0，1），（a，+∞）．
（II）設切點為P（x，y），切線斜率為k，
則方程組，
即關于x的方程=有三個不等實根，
整理，得b=
=，
令h（x）=，
則h′（x）=x-3+-，
h′（x）=0，解得x=，或x=3．
當x變化時，h′（x）與h（x）的變化情況如下表：

x	（0，）		（，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

當x=1時，h（x）取得極大值h（）=12-6-ln2．
當x=3時，h（x）取得極小值h（3）=；
又當x趨近于0時，h（x）充分小，當x趨近于+∞時，h（x）充分大，
故當b∈（）時，可作三條切線．
點評：本題考查函數的單調遞增區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想、等價轉化思想的合理運用．