Question

設函數f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]（t∈R）的最小值為g（t），求g（t）的表達式．

Answer 1

分析：求出二次函數f（x）的對稱軸為直線x=1，圖象開口向上，分區間在對稱軸的左側、區間包含對稱軸、區間在對稱軸的右側三種情況，分別利用單調性求出函數的最小值，即可得到g（t）的表達式．

解答：解：f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，所以，其圖象的對稱軸為直線x=1，且圖象開口向上．
①當t+1＜1，即t＜0時，f（x）在[t，t+1]上是減函數，所以g（t）=f（t+1）=t²+1；
②當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，函數f（x）在頂點處取得最小值，即g（t）=f（1）=1；
③當t＞1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數，
所以g（t）=f（t）=t²-2t+2．
綜上可得，g（t）=

t2+1 ，  t＜0 1 ，  0≤t≤1 t2-2t+2 ，t＞1

．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，求函數的解析式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．