Question

已知，點滿足，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）若直線過點且與軌跡交于、兩點. （i）設點，問：是否存在實數，使得直線繞點無論怎樣轉動，都有成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.（ii）過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記

，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，由，∴，故軌跡E的方程為…………3分

（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l方程為，與雙曲線方程聯立消得，設、，

∴，    解得 ……………5分

（i）∵

   

……………………7分

假設存在實數，使得，

故得對任意的恒成立，

    ∴，解得    ∴當時，.

    當直線l的斜率不存在時，由及知結論也成立，

    綜上，存在，使得. …………………………………………8分

 （ii）∵，∴直線是雙曲線的右準線，…………………………9分

    由雙曲線定義得：，，

    方法一：∴

                 …………………………………………10分

    ∵，∴，∴………………………………………11分

    注意到直線的斜率不存在時，，綜上， …………………12分

    方法二：設直線的傾斜角為，由于直線

與雙曲線右支有二個交點，∴，過

作，垂足為，則，          

∴ …（10分）

    由，得  故： …（12分）