Question

在我國古運河上建有許多形狀相同的拋物線型拱橋(從上游到下游標記，n＝0，1，2……)，經測量知，相鄰兩橋之間的距離近似地滿足＝800＋150n(n＝1，2，……)這些拱橋當水面距拱頂5m時，橋洞水面寬8m，每年汛期，船公都要考慮拱橋的通行問題，一只裝有貨物的船，露出水面部分的高為m，寬為4m．

(1)要使該船能順利通過拱橋，試問水面距拱頂的高度必須達到幾米？

(2)已知河水每小時上漲0.15m，船在靜水中的速度為0.4m/s，水流速度為15m/min，若船從橋起錨順水航行時，河水開始上漲，試問船將在哪一座橋可能受阻？(≈153.9，≈147.8，≈159.9)

Answer 1

答案：
解析：

解(1)取拋物線型拱橋的拱頂為坐標原點，拱橋的對稱軸所在直線為y軸，建立直角坐標系． 　　設當水面上漲到與拋物線拱頂相距h米時，船不能通行． 　　設拋物線方程為＝－2py(p＞0) 　　∵A(4，－5)在此拋物線上， 　　∴P＝1.6，拋物線方程為＝－3.2y 　　當船不能通行時，船寬等于，B點橫坐標為2，問題轉化為求拋物線＝－3.2y上點B的縱坐標，然后求h 　　將x＝2代入方程得＝ 　　∴h＝||＋＝2． 　　因此，水面距拱頂至少2米，船才能順利通過橋． 　　(2)河水水面由距離拱離5米上升到2米需＝20小時． 　　橋到橋的距離 　　＝ 　　船順水航行速度v＝1440＋900＝2340米/小時，在這段時間內，船航行的路線 　　d＝2340×20＝46800米． 　　由＝46800得150＋1750n＝46800×2， 　　解得n＝≈19.8， 　　故取n＝19時，此時43700＝＜d＜＝47350，　　∴船在橋受阻．