Question

已知拋物線C：y²=4x的準線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點（A在M、B之間）．
（1）F為拋物線C的焦點，若|AM|=|AF|，求k的值；
（2）如果拋物線C上總存在點Q，使得QA⊥QB，試求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：先求出點M的坐標，再求出|AM|和|AF|利用|AM|=|AF|，求出k的值；
法二：利用拋物線的定義把|AF|的長轉化為點A到準線的距離，再利用直線的傾斜角與|AM|和點A到準線的距離之間的關系求k的值；
（2）先把直線方程與拋物線方程聯立消去x，得到關于A、B兩點縱坐標之間的關系式再利用QA⊥QB，找到k的取值范圍．（注意檢驗是否滿足判別式）．
解答：解：（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
設A（x₁，y₁），則|AM|=，（1分）
|AF|=
=
=|x₁+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4=5，
解得k=±（2分）
法二：記A點到準線距離為d，直線l的傾斜角為a，
由拋物線的定義知|AM|=d，（2分）
∴cosa=±=±，
∴k=tana=±（3分）
（2）設Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得ky²-4y+4k=0，（1分）
首先由得-1＜k＜1且k≠0
k_QA===，
同理k_QB=（2分）
由QA⊥QB得，（2分）
即：y²+y（y₁+y₂）+y₁y₂=-16，
∴，（2分）
△=-80≥0，得-≤k≤且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范圍為[，0）∪（0，]（3分）
點評：本題考查拋物線的應用以及直線間的位置關系．在解決圓錐曲線問題時，定義法是比較常用的．