Question

（2013•崇明縣一模）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求三棱錐A-BCD的體積；
（2）求異面直線AE與CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質、線面垂直的性質定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式即可得出；
（2）利用三角形的中位線定理、異面直線所成的角、線面垂直的性質定理即可求出．

解答：解：（1）在等邊三角形△BCD中，BO=OD=1，∴CO=

3

．
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥OC．
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA=

22-( 3 )2

=1．
∴VA-BCD=

1

3

S△BCD×OA=

1

3

×

3

4

×22×1=

3

3

．
（2）連接OE，∵O、E為中點，∴OE∥CD，OE=

1

2

CD=1，∴∠AEO或其補角為異面直線AE與CD所成角．
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥OE．
在直角三角形AEO中，∵OA=OE，
∴∠AEO=

π

4

，所以異面直線AE與CD所成角的大小為

π

4

．

點評：熟練掌握等邊三角形的性質、線面垂直的性質定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、三角形的中位線定理、異面直線所成的角是解題的關鍵．