Question

（1）證明：對?x＞0，lnx≤x-1；
（2）數列{a_n}，若存在常數M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，則稱數列{a_n}有上界．已知，試判斷數列{b_n}是否有上界．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，利用導數研究它的單調性，得出g（x）在x=1處取最大值，即可證得結論；
（2）假設，從而得出，由（1）得，即，再利用?M＞0，取n為任意一個不小于e^M的自然數，則，從而得出數列{b_n}無上界．
解答：證：（1）設g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，?x＞0.…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
當0＜x＜1時，，g（x）單調遞增…（3分）；
當x＞1時，，g（x）單調遞減…（4分），
所以g（x）在x=1處取最大值，即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）數列{b_n}無上界…（7分）?n∈N^*，設…（8分），，
由（1）得，…（10分），
所以=ln（n+1）…（13分），
?M＞0，取n為任意一個不小于e^M的自然數，
則，數列{b_n}無上界…（14分）．
點評：本題主要考查全稱命題、數列的通項公式在求解中的應用，及利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．