Question

如圖，已知A、B、C是直線m上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線m于點A，又過B、C作⊙O′異于m的兩切線，切點分別為D、E，設兩切線交于點P，

(1)求點P的軌跡方程;

(2)經過點C的直線l與點P的軌跡交于M、N兩點，且點C分所成比等于2∶3，求直線l的方程.

Answer 1

解：(1)∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,

∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.

∴P點軌跡是以B、C為焦點,長軸長等于18的橢圓.故可以B、C兩點所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,設橢圓的方程是+=1(a＞b＞0).

∵a=9,c=3,∴b²=72.

∴P點的軌跡方程是=1(y≠0).

(2)設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),∵C(3,0)分MN所成的比為,則有

又∵=1,

∴               ①

又=1,                        ②

由①②消去y₂:(5-x₂)²+(1-)=1,解得x₂=-3,y₂=±8,即N(-3,±8).

∴由C、N可得直線l的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.