【題目】設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞)
B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
【答案】D
【解析】解:設F(x)=f (x)g(x),當x<0時,
∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在當x<0時為增函數.
∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)g (x)=﹣F(x).
故F(x)為(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數.
∴F(x)在(0,+∞)上亦為增函數.
已知g(﹣3)=0,必有F(﹣3)=F(3)=0.
構造如圖的F(x)的圖象,可知
F(x)<0的解集為x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3).
故選D
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點,需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果
,那么函數
在這個區間單調遞增;(2)如果
,那么函數
在這個區間單調遞減才能正確解答此題.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x
(1)當a= 時,滿足不等式f(x)>1的x的取值范圍為;若函數f(x)的圖象與x軸沒有交點,則實數a的取值范圍為 .
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【題目】圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R).
(1)證明:不論m取什么數,直線l與圓C恒交于兩點;
(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度,并求此時m的值.
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在
軸上,且拋物線上有一點
到焦點的距離為5.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點,過點
作拋物線的兩條弦
和
,且
,判斷直線
是否過定點?并說明理由.
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【題目】函數f(x)=Asin(ωx﹣ )(A>0,ω>0)的最大值為2,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
. (Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)求函數f(x)的單調減區間.
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【題目】一位網民在網上光顧某網店,經過一番瀏覽后,對該店鋪中的A,B,C三種商品有購買意向.已知該網民購買A種商品的概率為 ,購買B種商品的槪率為
,購買C種商品的概率為
.假設該網民是否購買這三種商品相互獨立
(1)求該網民至少購買2種商品的概率;
(2)用隨機變量η表示該網民購買商品的種數,求η的槪率分布和數學期望.
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【題目】已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函數f(x)=logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值之差為1.
(1)求a的值;
(2)解不等式 ;
(3)求函數g(x)=|logax﹣1|的單調區間.
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