Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥平面，

（1）求證：；

（2）求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；(2) ．

【解析】

試題分析：(1)要證線線垂直，一般通過證明線面垂直來實現，那么我們就要尋找圖形中已有哪些與待證線垂直的直線，本題中首先由已知有，又有平面，則，故可證明與過的平面垂直，從而得線線垂直；(2)要求二面角的大小，一般須根據定義作出二面角的平面角，在三角形中解出，而平面角就是要與二面角的棱垂直的直線(射線)，題中棱是，在兩個面(半平面)內與垂直的直線是哪個呢？注意到已知，因此有，從而與都是以為底邊的等腰三角形，故垂直關系就是取底邊中點，根據等腰三角形的性質有，，就是我們要找的平面角．

試題解析：（1）連接BD，∵⊥平面

平面

∴AC⊥SD          4分

又四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴AC ⊥平面SBD

∴AC⊥SB.          6分

（2）設的中點為，連接、，

∵SD=AD,CS=CA,

∴DE⊥SA, CE⊥SA.

∴是二面角的平面角.     9分

計算得：DE＝，CE＝，CD＝2，則CD⊥DE.

,

所以所求二面角的大小為 .   12分

考點：(1)線線垂直；(2)二面角．