Question

若直線l與冪函數y=xⁿ的圖象相切于點A（2，8），則直線l的方程為

12x-y-16=0

．

Answer 1

分析：根據冪函數的概念設f（x）=xⁿ，將點的坐標代入即可求得n值，從而求得函數解析式．再根據曲線的解析式求出導函數，把A的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據A的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可

解答：解：設f（x）=xⁿ，
∵冪函數y=f（x）的圖象過點 （2，8），
∴2ⁿ=8
∴n=3．
這個函數解析式為 y=x³．
∴y'=3x²
∴在點A（2，8）處的切線的斜率k=y'|_x=2=12；
∴曲線在點A（2，8）處的切線方程為y-8=12（x-2），即12x-y-16=0．
故答案為：12x-y-16=0．

點評：解答本題關鍵是待定系數法求冪函數解析式、指數方程的解法、考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程等知識，屬于基礎題．