Question

△OAB是邊長為4的正三角形，CO⊥平面OAB且CO=2，設D、E分別是OA、AB的中點．
（1）求證：OB∥平面CDE；
（2）求三棱錐O-CDE的體積；
（3）在CD上是否存在點M，使OM⊥平面CDE，若存在，則求出M點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用DE是△AOB的中位線，可知DE∥OB，根據線面平行的判定定理，從而可證OB∥平面CDE；
（2）求三棱錐O-CDE的體積即是求三棱錐C-ODE，利用椎體體積公式求出即可；
（3）假設在CD上存在點M，使OM⊥平面CDE，推出結論DE⊥OA，這與已知∠DEA=60°矛盾，故在CD上不存在點M，使OM⊥平面CDE，

解答：（1）證明：∵DE是△AOB的中位線
∴DE∥OB
又∵DE?平面CDE，OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE；
（2）∵△OAB是邊長為4的正三角形，
D、E分別是OA、AB的中點，
∴DE=2，∴S△ODE=

1

2

×2×

3

=

3

，
又∵CO⊥平面OAB且CO=2，
∴V_O-CDE=V_C-ODE=

1

3

×S△ODE×OC=

2 3

3

；
（3）假設在CD上存在點M，使OM⊥平面CDE，則OM⊥DE，
又∵CO⊥DE，CO∩OM=O，∴DE⊥平面OCD，∴DE⊥OA，
這與已知∠DEA=60°矛盾，
∴在CD上不存在點M，使OM⊥平面CDE．

點評：本題以線面垂直為載體，考查線面平行與垂直關系，考查點面距離，考查三棱錐的體積，綜合性較強．