Question

已知數列{a_n}滿足a₂=5，且其前n項和S_n=pn²-n．
（Ⅰ）求p的值和數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}為等比數列，公比為p，且其前n項和T_n滿足T₅＜S₅，求b₁的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數列的性質,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題意，得S₁=p-1，S₂=4p-2，利用a₂=5，S₂=a₁+a₂，可得S₂=4p-2=p-1+5，即可求p的值；再寫一式，兩式相減，即可求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出T_n，利用T₅＜S₅，建立不等式，即可求b₁的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得S₁=p-1，S₂=4p-2，
因為 a₂=5，S₂=a₁+a₂，
所以 S₂=4p-2=p-1+5，
解得 p=2．…（3分）
所以 Sn=2n2-n．
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，…（5分）
得 an=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3．…（7分）
驗證知n=1時，a₁符合上式，
所以a_n=4n-3，n∈N^*．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得Tn=

b1(1-2n)

1-2

=b1(2n-1)．…（10分）
因為 T₅＜S₅，
所以 b1(25-1)＜2×52-5，
解得 b1＜

45

31

．                                           …（12分）
又因為b₁≠0，
所以b₁的取值范圍是(-∞，0)∪(0，

45

31

)．                       …（13分）

點評：本題考查數列的性質和綜合應用，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵．