Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集為（-∞，1）∪（b，+∞）．
（1）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=a_n•2ⁿ，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由不等式ax²-3x+2＞0的解集，利用韋達定理可求a，b，根據等差數列的通項公式及前n項和公式可求a_n，S_n
（2）由（1）可求b_n，然后利用錯位相減可求T_n

解答：解：（1）∵ax²-3x+2＞0的解集為（-∞，1）∪（b，+∞），根據不等式解集的意義
可知：方程ax²-3x+2=0的兩根為x₁=1、x₂=b．
利用韋達定理不難得出a=1，b=2．
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，s_n=n²…（6分）
（2）由（1）可得：b_n=（2n-1）•2ⁿ∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由②-①得：T_n=-2（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2=-2•

2(1-2n)

1-2

+(2n-1)•2n+1+2=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6…（12分）

點評：本題主要考查了方程與不等式的相互轉化的應用，及等差數列的通項公式及前n項和公式的應用，解題的重點是錯位相減法的應用．