Question

對定義在區間D上的函數f（x），若存在閉區間[a，b]⊆D和常數C，使得對任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且對任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，則稱函數f（x）為區間D上的“U型”函數．
（1）求證函數f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數；
（2）設函數f（x）是（1）中的“U型”函數，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）對一切t∈R恒成立，求實數t的取值范圍．
（3）若函數g（x）=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“U型”函數，求實數m和n的值．

Answer 1

分析：1）對于函數f（x）=|x-1|+|x-3|，欲判斷其是否是“U型”函數，只須f₁（x）≥2是否恒成立，利用去絕對值符號后即可證得；
（2）不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）對一切x∈R恒成立，等價于|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，等價于|t-1|+|t-2|≤2，從而可求實數t的取值范圍；
（3）函數g（x）=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“U型”函數，等價于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對任意的x∈[a，b]成立，利用恒等關系，可得到關于m，n，c的方程，解出它們的值，最后通過驗證g（x）是區間[-2，+∞）上的“U型”函數即可解決問題．

解答：解：（1）當x∈[1，3]時，f（x）=x-1+3-x=2，
當x∉[1，3]時，f（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2，
故存在閉區間[a，b]=[1，3]⊆R和常數C=2符合條件，
所以函數f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數；
（2）因為不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）對一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，
由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2，
所以|t-1|+|t-2|≤2，
解得：

1

2

≤t≤

5

2

；
（3）由“U型”函數定義知，存在閉區間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數c，使得對任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx，
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對任意的x∈[a，b]成立，
所以

m2=1 -2cm=2 c2=n

，所以

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

，
①當

m=1 c=-1 n=1

時，g（x）=x+|x+1|．
當x∈[-2，-1]時，g（x）=-1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此時，g（x）是區間[-2，+∞）上的“U型”函數；
②當

m=-1 c=1 n=1

時，g（x）=-x+|x+1|．
當x∈[-2，-1]時，g（x）=-2x-1≥1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=1．
此時，g（x）不是區間[-2，+∞）上的“U型”函數．
綜上分析，m=1，n=1為所求；

點評：本題考查新定義，考查函數恒成立問題，考查函數的最值，解題的關鍵是利用恒成立結論等式，從而可得參數的值，屬于難題．