Question

在直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ為參數(shù)）若以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數(shù)）．
（1）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求t的取值范圍；
（2）當t=-2時，求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離．

Answer 1

分析：（1）把曲線M的參數(shù)方程化為 y=x²-1，把曲線N的極坐標方程化為 x+y-t=0．由題意可得

y=x2-1 x+y-t=0

，有唯一解，即 x²+x-1-t=0 有唯一解，故有△=1+4+4t=0，由此求得t的范圍．
（2）當t=-2時，曲線N即 x+y+2=0，當直線和曲線N相切時，由（1）可得t=-

5

4

，故本題即求直線x+y+2=0和直線x+y+

5

4

=0之間的距離，利用兩條平行線間的距離公式計算求得結果．

解答：解：（1）曲線M

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ為參數(shù)），即 x²=1+y，即 y=x²-1．
把曲線N的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數(shù)）化為直角坐標方程為 x+y-t=0．
由曲線N與曲線M只有一個公共點，可得

y=x2-1 x+y-t=0

有唯一解，即 x²+x-1-t=0 有唯一解，
故有△=1+4+4t=0，解得t=-

5

4

．
（2）當t=-2時，曲線N即 x+y+2=0，當直線和曲線N相切時，由（1）可得t=-

5

4

，
故曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離，即直線x+y+2=0和直線x+y+

5

4

=0之間的距離，為

|2- 5 4 |

2

=

3 2

8

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關系的應用，屬于中檔題．