Question

（2013•浙江模擬）不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

λ

c-a

＞0，對(duì)滿足a＞b＞c恒成立，則λ的取值范圍

λ＜4

．

Answer 1

分析：由題意可得

λ

a-c

＜

1

a-b

+

1

b-c

，即 λ＜

a-c

a-b

+

a-c

b-c

恒成立．由基本不等式可得2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

的最小值等于4，故λ＜4．

解答：解：a＞b＞c，

1

a-b

+

1

b-c

+

λ

c-a

＞0恒成立，
∴

λ

a-c

＜

1

a-b

+

1

b-c

，又a-c＞0
∴λ＜

a-c

a-b

+

a-c

b-c

．
把 a-c=a-b+b-c，代入上式可得
λ＜

a-b+b-c

a-b

+

a-b+b-c

b-c

=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

，
由基本不等式可得2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

的最小值等于4，
∴λ＜4，
故答案為 λ＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．