Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-2cos²x（x∈R） 
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數(shù)f（x）化為y=Asin（?x+φ）型函數(shù)，再利用周期計算公式求其周期即可；
（II）先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)計算函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x值即可

解答：解：（I）f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π
（Ⅱ） 由x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

即x=

3π

8

時，f（x）有最大值

2

-1

點評：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡和求值中的應(yīng)用，y=Asin（?x+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題