Question

已知函數f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值．
（2）設函數h（x）=f（x）+g（x），若不等式|h（x）-m|≤1在[-

π

12

，

5π

12

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數對稱軸的性質確定x₀的值，然后代入求值即可．
（2）求出函數h（x）=f（x）+g（x）的最值即可．

解答：解：（1）f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos2(x+ π 12 )

2

=

1

2

+

1

2

cos(2x+

π

6

)，
由2x+

π

6

=kπ，k∈Z得所以函數的對稱軸為x=

kπ

2

-

π

12

．
因為x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，所以x0=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z．
所以g(x0)=1+

1

2

sin2(

kπ

2

-

π

12

)=1+

1

2

sin(kπ-

π

6

)，
若k是偶數，則g(x0)=1+

1

2

sin(-

π

6

)=

3

4

，
若k是奇數，則g(x0)=1+

1

2

sin?(

5π

6

)=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

+

1

2

cos(2x-

π

12

)+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin(2x+

π

3

)．
因為x∈[-

π

12

，

5π

12

]，所以

π

6

≤2x+

π

3

≤

7π

6

，
所以

5

4

≤h(x)≤2，所以要使|h（x）-m|≤1恒成立，
即-1≤m-h（x）≤1，
所以h（x）-1≤m≤1+h（x）．
所以1≤m≤

9

4

．

點評：本題主要考查三角函數的化簡以及倍角公式，輔助角公式的應用，綜合性較強．