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設函數f(x)=x3+3bx2+3cx在兩個極值點x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
(1)求b、c滿足的約束條件,并在下面的坐標平面內,畫出滿足這些條件的點(b,c)的區域;
(2)證明:
【答案】分析:(1)根據極值的意義可知,極值點x1、x2是導函數等于零的兩個根,根據根的分布建立不等關系,畫出滿足條件的區域即可;
(2)先用消元法消去參數b,利用參數c表示出f(x2)的值域,再利用參數c的范圍求出f(x2)的范圍即可.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=3x2+6bx+3c,(2分)
依題意知,方程f'(x)=0有兩個根x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2]
等價于f'(-1)≥0,f'(0)≤0,f'(1)≤0,f'(2)≥0.
由此得b,c滿足的約束條件為(4分)
滿足這些條件的點(b,c)的區域為圖中陰影部分.(6分)

(Ⅱ)由題設知f'(x2)=3x22+6bx2+3c=0,

.(8分)
由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,

又由(Ⅰ)知-2≤c≤0,(10分)
所以
點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值,以及二元一次不等式(組)與平面區域和不等式的證明,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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12
,1)
內不單調,求實數a的取值范圍.

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