Question

設函數f（x）=x³+3bx²+3cx在兩個極值點x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點（b，c）的區域；
（2）證明：

Answer 1

【答案】分析：（1）根據極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數等于零的兩個根，根據根的分布建立不等關系，畫出滿足條件的區域即可；
（2）先用消元法消去參數b，利用參數c表示出f（x₂）的值域，再利用參數c的范圍求出f（x₂）的范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+6bx+3c，（2分）
依題意知，方程f'（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]
等價于f'（-1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c滿足的約束條件為（4分）
滿足這些條件的點（b，c）的區域為圖中陰影部分．（6分）

（Ⅱ）由題設知f'（x₂）=3x₂²+6bx₂+3c=0，
則，
故．（8分）
由于x₂∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，
故．
又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，（10分）
所以．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區域和不等式的證明，屬于基礎題．