Question

7．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}}$）+b（ω＞0），且函數圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，當x∈[0，$\frac{π}{4}}$]時，f（x）的最大值為1．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度得到函數g（x）圖象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}}$]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}}$）+b，結合范圍2x-$\frac{π}{6}}$∈[-$\frac{π}{6}}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函數的有界性解得b的值，從而可求函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，結合范圍2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可求范圍g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$∈[-2，1]，結合已知可求m的取值范圍．

解答 解：（I）∵函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}}$）+b（ω＞0），且函數圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$，可得：T=π，由$\frac{2π}{ω}$=π，可得：ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}}$）+b，
∵當x∈[0，$\frac{π}{4}}$]時，2x-$\frac{π}{6}}$∈[-$\frac{π}{6}}$，$\frac{π}{3}$]，
∴由于y=sinx在[-$\frac{π}{6}}$，$\frac{π}{3}$]上單調遞增，可得當2x-$\frac{π}{6}}$=$\frac{π}{3}$，即x=$\frac{π}{4}$時，函數f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b，
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b=1，解得b=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}}$）-$\frac{1}{2}$…6分
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度得到函數解析式為：g（x）=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}}$]-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
∵當x∈[0，$\frac{π}{3}}$]時，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$∈[-2，1]，
∴g（x）-3∈[-5，-2]，g（x）+3∈[1，4]，
∵g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}}$]上恒成立，
∴m∈[-5，4]．

點評 本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，考查了三角函數恒等變換的應用，考查了正弦函數的圖象和性質的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．