Question

函數f（x）的定義域是R，f（0）=2，對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集為（　　）

A．{x|x＞0}

B．{x|x＜0}

C．{x|x＜-1，或x＞1}

D．{x|x＜-1，或0＜x＜1}

Answer 1

分析：構造函數g（x）=e^x•f（x）-e^x，結合已知可分析出函數g（x）的單調性，結合g（0）=1，可得不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集．

解答：解：令g（x）=e^x•f（x）-e^x，
則g′（x）=e^x•[f（x）+f′（x）-1]
∵對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0恒成立
即g（x）=e^x•f（x）-e^x在R上為增函數
又∵f（0）=2，∴g（0）=1
故g（x）=e^x•f（x）-e^x＞1的解集為{x|x＞0}
即不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集為{x|x＞0}
故選A

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，導數的運算，其中構造出函數g（x）=e^x•f（x）-e^x，是解答的關鍵．