Question

設常數a＞0，(ax2+

1

x

)4的二項展開式中x³的系數為

3

2

，則1+a+a²+a³+…+aⁿ+…=

2

．

Answer 1

分析：利用二項展開式通項公式T_r+1=c₄^r（ax²）^4-r（-

1

x

）^r，整理后，令x的次數等于3得到參數的方程，從而解得a，再結合等比數列的求和公式以及數列的極限即可得到結論．

解答：解：由二項展開式通項公式T_r+1=c₄^r（ax²）^4-r（-

1

x

）^r，
整理得T_r+1=（-1）^rc₄^ra^4-rx 8-

5r

2

，
令8-

5r

2

=3⇒r=2時，有（-1）²c₄²a²=

3

2

，
∴a=±

1

2

；
∵a＞0
∴a=

1

2

．
∴

lim

n→∞

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查二項式展開式特定項的系數的求法以及等比數列求和公式及極限的運算，需要熟記展開式的通項公式，即T_r+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．