Question

已知函數f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若函數f（x-m）為偶函數，求m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數的公式化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

解出x的范圍，即可得函數的單調區間；
（2）可得f（x-m）=2sin（2x-2m+

π

3

），由偶函數的對稱性，求出對稱軸，給k取特值可得滿足條件的m值．

解答：解：（1）由三角函數的公式化簡可得
f（x）=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin2x+sinx•cosx
=2sinxcosx+

3

cos²x-

3

sin2x=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，可得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
故f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∴f（x-m）=2sin（2x-2m+

π

3

），
∵f（x-m）為偶函數，
∴圖象關于y軸對稱，
由-2m+

π

3

=kπ+

π

2

，解得m=-

kπ

2

-

π

12

，k∈Z
∴當k=-1時，m取最小正值為m=

5π

12

．

點評：本題考查三角函數的計算公式，涉及函數的單調性和對稱性，屬中檔題．