【題目】如下圖，在三棱柱
中，底面
是邊長為2的等邊三角形，
為
的中點.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若四邊形
是正方形，且
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（I）證明見解析；（II）
.
【解析】
試題分析：（I）連結
，設
與相交于點
，連接
，則
為中點，根據中位線有
，所以
；（II）設
的中點為
，
的中點為
，以
為原點，
所在的直線為
軸，
所在的直線為
軸，
所在的直線為
軸，建立空間直角坐標系
.利用直線的方向向量和平面的法向量，計算線面角的正弦值.
試題解析：
證法1：連結，設與相交于點，連接，則為中點，
為
的中點，∴
∴
.
【證法2：取
中點
，連接
和
，
平行且等于
，∴
四邊形為平行四邊行
∴
，
∴
，
同理可得
∴
又
∴
.
（Ⅱ）
，∴
又
，∴
又
∴
法一：設的中點為，的中點為，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.
則
.
∴
，
平面
的一個法向量
，
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為.
【法二：取
的中點
，連結
，則
，故
，∴
，∴
延長
相交于點
，連結
，
則
為直線
與平面
所成的角.
因為
為
的中點，故
，又
∴
即直線
與平面
所成的角的正弦值為
.】
【法三：取
的中點
，連結
，則
，故
，∴
，∴
取
中點
，連結
，過點作
，則
，
連結
，
，
∴
為直線
與平面
所成的角，
即直線
與平面所
成的角的正弦值為
.】
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，已知兩定點
、
，⊙C的方程為
．當⊙C的半徑取最小值時：
（1）求出此時m的值，并寫出⊙C的標準方程；
（2）在x軸上是否存在異于點E的另外一個點F，使得對于⊙C上任意一點P，總有
為定值？若存在，求出點F的坐標，若不存在，請說明你的理由；
（3）在第（2）問的條件下，求
的取值范圍．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方體
，則下列說法不正確的是（ ）
A.若點
在直線
上運動時，三棱錐
的體積不變
B.若點是平面
上到點
和
距離相等的點，則點的軌跡是過
點的直線
C.若點在直線上運動時，直線
與平面
所成角的大小不變
D.若點在直線上運動時，二面角
的大小不變
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場銷售某種品牌的空調器，每周周初購進一定數量的空調器，商場沒銷售一臺空調器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調器需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商店調劑供應，此時每臺空調器僅獲利潤200元.
（Ⅰ）若該商場周初購進20臺空調器，求當周的利潤（單位：元）關于當周需求量
（單位：臺，
）的函數解析式
；
（Ⅱ）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調器需求量（單位：臺），整理得下表：
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，若商場周初購進20臺空調器，
表示當周的利潤（單位：元），求
的分布及數學期望.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
滿足：對任意
，
，都有
成立，且
時，
．
（1）求
的值，并證明：當
時，
；
（2）判斷
的單調性并加以證明；
（3）若函數
在
上遞減，求實數
的取值范圍．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，直線
經過點A (1，0).
（1）若直線
與圓C相切，求直線
的方程；
（2）若直線
與圓C相交于P，Q兩點，求三角形CPQ面積的最大值，并求此時直線
的方程.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為自然對數的底數），
，
．
（1）求曲線
在
處的切線方程；
（2）討論函數的極小值；
（3）若對任意的
，總存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍．
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
