Question

設數{an}前n項和Sn滿足：S3=

3

2

，且Sn=

1

3

an+c(c為常數，n∈N*)．
（1）求c的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=λa_n+n²+n，若b_n+1＞b_n對一切n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）n≥2時，Sn=

1

3

an+c，Sn-1=

1

3

an-1+c，兩式相減化簡可得數列{a_n}是等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用b_n=λa_n+n²+n，可將b_n+1＞b_n表示為λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，從而有

3

2

λ•(-

1

2

)n-1＜2n+2，由于涉及到(-

1

2

)n-1，故需進行分類討論研究函數的最值，從而求出實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）n=1時，a1=

1

3

a1+c，∴a1=

3

2

c，
n≥2時，Sn=

1

3

an+c，Sn-1=

1

3

an-1+c，兩式相減化簡得an=-

1

2

an-1，由S3=

3

2

得c=

4

3

，
∴a₁=2，∴數列{a_n}是等比數列，an=2×(-

1

2

)n-1
（2）∵b_n+1＞b_n，∴λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，∴

3

2

λan＜2n+2，∴

3

2

λ•(-

1

2

)n-1＜2n+2①當n為奇數時，λ＜

1

3

(2n+2)•2n-1∵

1

3

(2n+2)•2n-1隨n的增大而增大，∴當n=1時，

1

3

(2n+2)•2n-1取得最小值為

4

3

，則要使對一切n∈N^*恒成立，則λ＜

4

3

；
②當n為偶數時，λ＞-

1

3

(2n+2)•2n-1∵

1

3

(2n+2)•2n-1隨n的增大而減少，∴當n=2
時，

1

3

(2n+2)•2n-1取得最大值為-4，則要使對一切n∈N^*恒成立，則λ＞-4
綜上知，-4＜λ＜

4

3

．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式，利用兩式相減的方法，考查恒成立問題的處理，利用最值法解決，有一定的綜合性．