Question

【題目】如圖，已知，，是橢圓的三個頂點(diǎn)，橢圓的離心率，點(diǎn)到直線的距離是.設(shè)是橢圓上位于軸左邊上的任意一點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓記為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：圓始終與圓：相切，并求出所有圓的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解；或.

【解析】

（1）寫出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，求得方程，結(jié)合離心率得到的方程，求得即可得到橢圓方程；

（2）根據(jù)三點(diǎn)分別共線，可得的坐標(biāo)，從而求得圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，即可容易證明和求解.

（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故可得；

又容易知方程為，又點(diǎn)坐標(biāo)為

故可得，結(jié)合，

解得，

故可得橢圓方程為.

（2）不妨設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，

由三點(diǎn)共線可知：，解得；

同理由三點(diǎn)共線可得.

故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑；

又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，

故可得兩圓圓心距

因?yàn)辄c(diǎn)滿足橢圓方程，故可得，代入上式得：

，

故當(dāng)時(shí)，可得

整理得，

當(dāng)，即或時(shí)，

此時(shí)圓內(nèi)切.即證.

此時(shí)滿足題意的圓為或.