Question

【題目】已知橢圓右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設中點分別為．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意確定出c與e的值，利用離心率公式求出a的值，進而求出b的值，確定出橢圓方程即可；

（2）由直線AB與CD向量存在，設為k，表示出AB方程，設出A與B坐標，進而表示出M坐標，聯立直線AB與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出M，同理表示出N，根據M與N橫坐標相同求出k的值，得到此時MN斜率不存在，直線MN恒過定點；若直線MN斜率存在，表示出直線MN斜率，進而表示出直線MN，令y=0，求出x的值，得到直線MN恒過定點，綜上，得到直線MN恒過定點，求出定點坐標即可；

解：(1) 由題意：，

∴，

則橢圓的方程為

(2) ∵斜率均存在

∴設直線方程為：，

再設，則有，

聯立得：，

消去得：，

∴，即，

將上式中的換成，同理可得：，

若，解得：，直線斜率不存在，

此時直線過點；

下證動直線過定點，

若直線斜率存在，則，

直線為，

令，得，

綜上，直線過定點；