Question

如圖1-1-2所示,為處理含有某種雜質的污水,要制造一底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱.污水從A孔流入,經沉淀后從B孔流出.設箱體的長度為a m,高度為b m.已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比.現有制箱材料60 m²,問當a、b各為多少時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A、B孔的面積忽略不計).

圖1-1-2

Answer 1

分析：依題意可以建立兩個基本的等量關系:①y=(y為質量分數,k為比例系數);②4b+2ab+2a=60.具體求解可有兩條思路:一是將②式變形代入①式消元成一元函數,再求使y取得最小值時的自變量值;二是由①式知y為最小值等價于求ab的最大值,將ab看作一個整體,利用②式去尋求.在求最值的過程中,若遇到變量的和式或積式可考慮運用均值定理.

解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數,則y=,其中k＞0為比例系數.

根據題設,有

4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),

∴b=(0＜a＜30).③

于是y===

=

≥=.

當a+2=時取等號,y達到最小值.

這時a=6或a=-10(舍去).

將a=6代入③式得b=3.

當a為6 m,b為3 m時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.

解法二：設y為流出的水中雜質的質量分數,則y=,其中k＞0為比例系數.

依題意,即所求的a、b值使ab最大.

由題設,知4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),

即a+2b+ab=30(a＞0,b＞0).

∵a+2b≥2,

∴2+ab≤30ab+2-30≤0(+5)(-3)≤0.

當且僅當a=2b時,上式取等號.

當a＞0,b＞0時,解得0＜ab≤18,

即當a=2b時,ab取得最大值為18.

∴2b²=18.解得b=3,則a=6.

故當a為6 m,b為3 m時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.