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如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,DA⊥AB,AD=3,AB=4,BC=
3
,點E在線段AB的延長線上.若曲線段DE(含兩端點)為某曲線L上的一部分,且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等.
(1)建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担笄L的方程;
(2)根據(jù)曲線L的方程寫出曲線段DE(含兩端點)的方程;
(3)若點M為曲線段DE(含兩端點)上的任一點,試求|MC|+|MA|的最小值,并求出取得最小值時點M的坐標.
解(1)如圖,以AB所在的直線為x軸,其垂直平分線為y軸,建立所示的直角坐標系,
A(-2,0),B(2,0),C(2,
3
),D(-2,3)
,|DA|=3,|DB|=5.
設動點M(x,y)為曲線L上的任一點,
則|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8,
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8

整理得
x2
16
+
y2
12
=1
,為所求曲線L的方程
(2)由題意知xD<x<xE,y≥0,
而xD=xA=-2,xE=4
則所求曲線段DE的方程為
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4,y≥0)

(3)由橢圓的定義及點M為曲線段DE(含兩端點)上的任一點可知|MA|+|MB|=2a=8,即|MA|=8-|MB|,
則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3

當且僅當點M位于線段BC的交點處時等號成立,
由BC⊥AB知此時點M的橫坐標為2,則其縱坐標為3,
即當點M的坐標為(2,3)時|MC|+|MA|有最小值8-2
3
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓C:x2+
y2
a2
=1(a>1)
的離心率為e,點F為其下焦點,點O為坐標原點,過F的直線l:y=mx-c(其中c=
a2-1
)與橢圓C相交于P,Q兩點,且滿足:
OP
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2

(Ⅰ)試用a表示m2
(Ⅱ)求e的最大值;
(Ⅲ)若e∈(
1
3
1
2
)
,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1)
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過F作直線交拋物線于A、B兩點.若直線OA、OB分別交直線l:y=x-2于M、N兩點,求|MN|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知O為坐標原點,F(xiàn)是拋物線E:y2=4x的焦點.
(Ⅰ)過F作直線l交拋物線E于P,Q兩點,求
OP
OQ
的值;
(Ⅱ)過點T(t,0)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A,B,C,D四點,且M,N分別為線段AB,CD的中點,求△TMN的面積最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的方程為x2=4y,直線y=2與拋物線C相交于M,N兩點,點A,B在拋物線C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求證:直線AB的斜率為
2

(Ⅱ)若直線AB的斜率為
2
,求證點N到直線MA,MB的距離相等.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知一條曲線C在y軸右側,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)設直線l交曲線C于A,B兩點,線段AB的中點為D(2,-1),求直線l的一般式方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
5
5
,過F1的直線交橢圓于M、N兩點,且△MNF2周長為4
5

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)已知過橢圓中心,且斜率為k(k≠0)的直線與橢圓交于A、B兩點,P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點,若△APB的面積為
40
9
,求k的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

過點P(1,1)作直線與雙曲線x2-
y2
2
=1
交于A、B兩點,使點P為AB中點,則這樣的直線(  )
A.存在一條,且方程為2x-y-1=0
B.存在無數(shù)條
C.存在兩條,方程為2x±(y+1)=0
D.不存在

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C:x2-
y2
2
=1
,過點P(-1,-2)的直線交C于A,B兩點,且點P為線段AB的中點.
(1)求直線AB的方程;
(2)求弦長|AB|的值.

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同步練習冊答案
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