Question

已知A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅},B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}, a_i∈N（i=1,2,3,4,5）

設a₁<a₂<a₃<a₄<a₅且A∩B={a₁,a₄}，a₁+a₄=10，又A∪B元素之和為224，

求：（1）a₁ ，a₄  （2）A

Answer 1

（1）a₁ =1，a₄=9，（2）A={1，3，4，9，10}

解析:

（1）∵A∩B={a₁,a₄}且a₁+a₄=10，即兩個完全平方數的和為10，

                                ……4分

（2）∵A∪B的元素之和為224，即a₂+a₃+a₅+a₁²+a₂²+a₃²+a₄²+a₅²=224，

而a₁²+a₄²=82 ∴a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²=142                  ……8分

∵a₄=9<a₅若a₅=11，則a₂+a₃+a₂²+a₃²=10這不可能

∴a₅=10                                              ……12分

∴a₂+a₃+a₂²+a₃²=32

若a₃²=a₄=9得a₂+a₂²=20  ∴a₂=4>a₃ (矛盾)

從而a₂=3，a₃=4

∴A={1，3，4，9，10}                                ……14分