Question

（本題滿分14分）如圖，已知平面平面，與分別是棱長為1與2的正三角形，//，四邊形為直角梯形，//，，點為的重心，為中點，，

（Ⅰ）當時，求證：//平面

（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

【解析】（1）只須證：連接AG并延長交CE于P點，連接PB，PD，易證NPDF為平行四邊形，然后根據平行線分分段成比例關系證DM//PF即可.

(2) 由于本小題建系比較容易，所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個面的法向量，然后根據法向量的夾角與二面角相等或互補進行計算.

（Ⅰ）連延長交于，

因為點為的重心，所以

又，所以，所以//；

因為//，//，所以平面//平面，

又與分別是棱長為1與2的正三角形，

為中點，為中點, //,又//，

所以//，得四點共面

//平面

（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，

以為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，

則，設，

，

，

因為與所成角為，所以，

得，，，

設平面的法向量，則，取，

面的法向量，

所以二面角的余弦值.