Question

設點P（x，y）（x≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點M（

1

2

，0）的距離比點P到x軸的距離大

1

2

．
（1）求點P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；
（2）若直線l與點P的軌跡相交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=0，點O到直線l的距離為

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）用直接法或定義法求得點P軌跡方程為y²=2x，表示以原點為頂點，對稱軸為x軸，開口向右的一條拋物線．
（2）當直線l的斜率不存在時，由題設可知直線l的方程是x=

2

，聯立x=

2

與y²=2x可求得A（

2

，

4	8

），B（

2

，-

4	8

），不符合

OA

•

OB

=0．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+b（k≠0，b≠0），聯立y=kx+b與y²=2x，化簡得ky²-2y+2b=0，由此能夠求出直線l的方程．

解答：解：（1）由定義法，知點P軌跡方程為y²=2x，
表示以原點為頂點，對稱軸為x軸，開口向右的一條拋物線．（6分）
（2）當直線l的斜率不存在時，
由題設可知直線l的方程是x=

2

，
聯立x=

2

與y²=2x可求得A（

2

，

4	8

），B（

2

，-

4	8

），
不符合

OA

•

OB

=0  （7分）
當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為y=kx+b（k≠0，b≠0），
聯立y=kx+b與y²=2x，
化簡得ky²-2y+2b=0  （9分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁y₂=

2b

k

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0?

y12

2

•

y22

2

+y₁y₂=0?y₁y₂+4=0?

2b

k

+4=0?b+2k=0  ①（11分）
又O到直線l距離為

2

得

|b|

k2+1

=

2

②（12分）
聯立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直線l的方程為y=x-2或y=-x+2（13分）

點評：本題考查拋物線的方程的求法和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．