Question

已知函數f（x）=x³-x²++，且存在x∈（0，），使f（x）=x．
（1）證明：f（x）是R上的單調增函數；
（2）設x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，證明：x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n；
（3）證明：＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明函數f（x）在R上的單調增，只需證其導函數在R上恒大于零即可；
（2）先驗證n=1時是否成立，假設當n=k（k≥1）時有x_k＜x_k+1＜x＜y_k+1＜y_k，再驗證n=k+1時是否成立；
（3）利用基本不等式進行化簡，利用整體的思想轉化成二次函數，再根據二次函數性質求函數的最值即可．
解答：解：（1）∵f'（x）=3x²-2x+=3（x-）²+＞0，
∴f（x）是R上的單調增函數．
（2）∵0＜x＜，即x₁＜x＜y₁．又f（x）是增函數，
∴f（x₁）＜f（x）＜f（y₁）．即x₂＜x＜y₂．
又x₂=f（x₁）=f（0）=＞0=x₁，y₂=f（y₁）=f（）=＜=y₁，
綜上，x₁＜x₂＜x＜y₂＜y₁．
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，上面已證明成立．
②假設當n=k（k≥1）時有x_k＜x_k+1＜x＜y_k+1＜y_k．
當n=k+1時，
由f（x）是單調增函數，有f（x_k）＜f（x_k+1）＜f（x）＜f（y_k+1）＜f（y_k），
∴x_k+1＜x_k+2＜x＜y_k+2＜y_k+1
由①②知對一切n=1，2，都有x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n．
（3）==y_n²+x_ny_n+x_n²-（y_n+x_n）+≤（y_n+x_n）²-（y_n+x_n）+
=[（y_n+x_n）-]²+．
由（Ⅱ）知0＜y_n+x_n＜1．
∴-＜y_n+x_n-＜，
∴＜（）²+=
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及用數學歸納法證明不等式，屬于中檔題．