Question

下列說法正確的個數是（　　）
①“若一個動點到兩定點距離之和是常數，則該動點軌跡是橢圓”的逆命題是真命題；
②“m=-1”是“直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0垂直”的必要條件；
③拋物線y=4x²的焦點坐標是（1，0）；
④命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x03-x02+1＞0”．

Answer 1

分析：根據四種命題的定義，寫出原命題的逆命題，進而根據橢圓的定義，可判斷①；根據兩條直線垂直的充要條件求出兩直線垂直時m的值，結合充要條件的定義，可判斷②；將拋物線方程化為標準方程，求出焦點坐標，可判斷③；根據全稱命題的否定方法，求出原命題的否定，可判斷④．

解答：解：“若一個動點到兩定點距離之和是常數，則該動點軌跡是橢圓”的逆命題為“若動點軌跡是橢圓，則動點到兩定點距離之和是常數”，根據橢圓的定義，可得①正確；
若直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0垂直，則3×m+（2m-1）×m=2m²+2m=0，解得m=0或m=-1，故“m=-1”是“直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0垂直”的充分不必要條件，故②錯誤；
拋物線y=4x²的標準方程為x²=

1

4

y，故拋物線焦點坐標是（

1

16

，0），故③錯誤；
命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x03-x02+1＞0”，故④錯誤
故正確的命題個數為1個
故選A

點評：本題考查的知識點是橢圓的定義，直線垂直的充要條件，拋物線的焦點，全稱命題的否定，熟練掌握上述基本知識點是解答的關鍵．