Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（III）證明存在k∈N^*，使得對任意n∈N^*均成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）解法一：由題設條件可猜想出數列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．然后用數學歸納法證明．
解法二：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，可知為等數列，其公差為1，首項為0．由此可求出數列{a_n}的通項公式．
（II）設T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ，λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．然后用錯位相減法進行求解．（III）證明：通過分析，推測數列的第一項最大．然后用分析法進行證明．
解答：解：（I）解法一：a₂=2λ+λ²+（2-λ）×2=λ²+2²，a₃=λ（λ²+2²）+λ³+（2-λ）×2²=2λ³+2³，
a₄=λ（2λ³+2³）+λ⁴+（2-λ）×2³=3λ⁴+2⁴．
由此可猜想出數列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
以下用數學歸納法證明．
（1）當n=1時，a₁=2，等式成立．
（2）假設當n=k時等式成立，即a_k=（k-1）λ^k+2^k，
那么，a_k+1=λa_k+λ^k+1+（2-λ）2^k=λ（k-1）λ^k+λ2^k+λ^k+1+2^k+1-λ2^k=[（k+1）-1]λ^k+1+2^k+1．
這就是說，當n=k+1時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ對任何n∈N^*都成立．
解法二：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，可得，
所以為等差數列，其公差為1，首項為0．故，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（II）解：設T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
當λ≠1時，①式減去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³++λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=，．
這時數列{a_n}的前n項和．
當λ=1時，．這時數列{a_n}的前n項和．
（III）證明：通過分析，推測數列的第一項最大．下面證明：．③
由λ＞0知a_n＞0．要使③式成立，只要2a_n+1＜（λ²+4）a_n（n≥2）．因為（λ²+4）a_n=（λ²+4）（n-1）λⁿ+（λ²+4）2ⁿ＞4λ．（n-1）λⁿ+4×2ⁿ=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2a_n+1，n＞2．
所以③式成立．因此，存在k=1，使得對任意n∈N^*均成立．
點評：本題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的前n項和公式、數列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力．