Question

如圖所示，設拋物線的焦點為，且其準線與軸交于，以，為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為P.

（1）當時，求橢圓的方程；

（2）是否存在實數，使得的三條邊的邊長是連續的自然數？若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）依題意由拋物線方程容易得橢圓的方程，代入既得橢圓方程；（2）假設存在滿足條件的實數，由拋物線和橢圓方程求交點P，使得，求得.

試題解析：（1）拋物線的焦點為,            1分

橢圓的半焦距，離心率，所以橢圓的長半軸長，短半軸長，3分

所以橢圓的方程為,　                            4分

當時，橢圓的方程.                              6分

（2）假設存在滿足條件的實數由，解得, 8分

，，,                    11分

所以的三條邊的邊長分別是，，

所以當時使得的三條邊的邊長是連續的自然數.                13分

考點：1、拋物線和橢圓的方程及性質;2.存在性問題.