Question

【題目】設定義在上的函數滿足：對任意的，當時，都有.

（1）若，求實數的取值范圍；

（2）若為周期函數，證明：是常值函數；

（3）若在上滿足：，，，

①記（），求數列的通項公式；② 求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）①；②.

【解析】

（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范圍；

（2）若f（x）是周期函數，記其周期為Tk，任取x0∈R，則有f（x0）＝f（x0+Tk），證明對任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，可得對任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，為常數；

（3）依題意，可求得f（1）＝1，f（）f（1），再分別利用f（）f（x），即可求得答案．

（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）＝a（x13﹣x23）≤0，

∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．

故a的范圍是[0，+∞）；

（2）若f（x）是周期函數，記其周期為Tk，任取x0∈R，則有

f（x0）＝f（x0+Tk），

由題意，對任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），

∴f（x0）＝f（x）＝f（x0+Tk）．

又∵f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，并且

…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，

∴對任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，為常數；

（3）①∵f（0）＝0，f（x）+f（1﹣x）＝1，

∴f（1）＝1，

由f（）+f（1）＝1，

∴f（），

∵f（）f（x），

令x＝1時，可得f（）f（1），

f（）f（）＝（）2，

∴f（）＝（）n，

∵，

∴an

②∵a4＝f（），a5＝f（）．

∵f（x）+f（1﹣x）＝1，

令x，則f（），

由f（）f（x），可得f（）f（），

于是f（），f（），f（），

由f（）≤f（）≤f（）

∴f（）