Question

設對于任意的實數x，y，函數f（x），g（x）滿足f（x+1）=

1

3

f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（3）=13，
n∈R⁺
（Ⅰ）求數列{f（n）}和{g（n）}的通項公式；
（Ⅱ）設C_n=g[

n

2

f（n）]，求數列{C_n}的前項和S_n；
（Ⅲ）設F（n）=S_n-3n，存在整數m和M，使得對任意正整數n不等式m＜F（n）＜M恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），故數列{f（n）}等比數列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故數列{g（n）}是等差數列，進而得到答案．
（Ⅱ）由題意可得：C_n=n(

1

3

)n-1+3，然后利用錯位相減的方法求出數列的前n項和為Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
（Ⅲ）因為F（n）=S_n-3n，所以F（n）=Sn=

9

4

-

2n+3

4

(

1

3

)n-1，利用增函數的定義判斷出數列是增數列，所以F（n）的最小值為F（1）=1．由極限的思想可得F（n）＜

9

4

，所以1≤F（n）＜

9

4

．因此當m＜1且M≥

9

4

時，不等式m＜F（n）＜M恒成立，進而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），取x=0，f（1）=

1

3

f（0）=1
故數列{f（n）}是首項是1，公比為

1

3

的等比數列，所以f（n）=(

1

3

)n-1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2（n∈N），即g（n+1）-g（n）=2，
故數列{g（n）}是公差為2的等差數列，又g（5）=13，
所以g（n）=2n+3．
（Ⅱ）由題意可得：C_n=g[

n

2

f（n）]=n(

1

3

)n-1+3，
所以S_n；=1+2×

1

3

+3×（

1

3

）²+…+n×（

1

3

）^n-1+3n…①

1

3

S_n=

1

3

+2×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+n×（

1

3

）ⁿ+n…②，
所以①-②可得：

2

3

Sn=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+…+（

1

3

）^n-1-n×（

1

3

）ⁿ+2n=

3

2

[1-(

1

3

)n]-n(

1

3

)n+2n，
所以Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
所以數列{C_n}的前項和Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
（Ⅲ）因為F（n）=S_n-3n，
所以F（n）=Sn=

9

4

-

2n+3

4

(

1

3

)n-1，
所以F（n+1）-F（n）=(n+1)(

1

3

)n＞0
所以F（n）是單調遞增數列，那么F（n）的最小值為F（1）=1．
由于當n→+∞時，

2n+3

4

(

1

3

)n-1→0，所以當n→+∞時，F（n）→

9

4

，
因為

2n+3

4

(

1

3

)n-1＜0，所以F（n）＜

9

4

，所以1≤F（n）＜

9

4

．
因此當m＜1且M≥

9

4

時，不等式m＜F（n）＜M恒成立，
所以存在正數m=0，-1，-2…；M=3，4，5…，使得對任意的正整數，不等式m＜F（n）＜M恒成立．
此時，M-m的最小值為3．

點評：解決此類問題的關鍵是利用函數的賦值法求出數列的通項公式，數列掌握數列求出的方法以及求數列和的最值的方法，此題是數列與函數與不等式的綜合題型屬于難題．