Question

已知

a

=(1，cosx)，

b

=(1+

2

3

sinx，cosx)，x∈[0，

π

2

]，f(x)=

a

•

b

-(2m+

2

3

)sinx
（1）當m=2時，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最大值為3．求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）當m=2時，依題利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=-（sinx+2）²+6，由x的范圍求得sinx的范圍，從而得到f（x）的值域．
（2）由于f（x）=-（sinx+m）²+m²+2，令t=sinx則 g（t）=-（t+m）²+m²+2，t∈[0，1]．分-m≤0、-m≥1、0＜-m＜1三種情況，利用二次函數的性質求得g（t）_max的值，再根據g（t）_max=3求出m的值．

解答：解：（1）當m=2時，依題得f（x）=

a

•

b

-（2m+

2

3

）sinx=1+

2

3

sinx+cos²x-

14

3

sinx=-（sinx+2）²+6．
又∵x∈[0，

π

2

]，sinx∈[0，1]，∴f（x）∈[-3，2]．
（2）由于f（x）=-（sinx+m）²+m²+2，
令t=sinx則 g（t）=-（t+m）²+m²+2，t∈[0，1]．
①當-m≤0，即m≥0時，g（t）_max=g（0）=2≠3，不符題意．
②當-m≥1，即m≤-1時，由于g（t）_max=g（1）=3，可得m=-1．
③當0＜-m＜1，即-1＜m＜0時，g(t)max=g(-m)=m2+2=3，m無  解．
綜上知：m=-1．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，二次函數的性質，求函數的值域，屬于中檔題．