Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上一點A（a，0）的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線l：x=-a作垂線，垂足分別為M₁、N₁。
（1）當時，求證：AM₁⊥AN₁；
（2）記△AMM₁、△AM₁N₁、△ANN₁的面積分別為S₁、S₂、S₃，是否存在λ，使得對任意的a＞0，都有S²₂=λS₁S₂成立。若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由

Answer 1

解：依題意，可設直線MN的方程為，，則有 由消去x可得 從而有 ① 于是 ② 又由，，可得  ③
（1）如圖，當時，點即為拋物線的焦點，l為其準線 此時，并由①可得 ∵ ∴ 即。
（2）存在，使得對任意的，都有成立，證明如下： 記直線l與x軸的交點為A1，則。 于是有 ∴ 將①、②、③代入上式化簡可得 上式恒成立，即對任意成立。