Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的單調性并求出單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

得到f（1）=

1

2

，f′（1）=0得到a、b即可；
（2）找到函數(shù)的定義域，在定義域中找到符合條件的駐點來討論函數(shù)的增減性求出單調區(qū)間即可．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=ax²+blnx，
所以f′(x)=2ax+

b

x

．
又函數(shù)f（x）在x=1處有極值

1

2

，
所以

f′(1)=0 f(1)= 1 2 .

即

2a+b=0 a= 1 2 .

可得a=

1

2

，b=-1．
（2）由（1）可知f(x)=

1

2

x2-lnx，其定義域是（0，+∞），
且f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以函數(shù)y=f（x）的單調減區(qū)間是（0，1），單調增區(qū)間是（1，+∞）

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)增減性的能力．