Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，平面四邊形ABCD中AD∥BC，∠BAD為二面角B﹣PA﹣D一個平面角．

（1）若四邊形ABCD是菱形，求證：BD⊥平面PAC；
（2）若四邊形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，問：直線l能否與平面ABCD平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，平面四邊形ABCD中AD∥BC，∠BAD為二面角B﹣PA﹣D一個平面角，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，

又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，

∵BD⊥PA，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC

（2）解：直線l不能與平面ABCD平行．

理由如下：

∵四邊形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，

∴CD與AB有交點P，∴P∈l，

∴直線l∩平面ABCD=P，

∴直線l不能與平面ABCD平行．

【解析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，從而BD⊥PA，由四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．（2）由四邊形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD與AB有交點P，從而直線l∩平面ABCD=P，由此得到直線l不能與平面ABCD平行．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．