Question

已知a＞0，函數f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，當x∈[0，]時，-5≤f（x）≤1．
（1）求常數a，b的值；
（2）設g（x）=f（x+）且lgg（x）＞0，求g（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角函數的性質求出用參數表示的函數的最值，由于函數的值域已知，故此兩區間相等，故左端點與左端點相等，右端點與右端點相等，由此得到參數的方程，解出參數值即可．
（2）本題要求出在定義域中的單調區間，故要先求出其定義域，再由單調性求出其單調區間，由（1），f（x）=-4sin（2x+）-1，代入即可求得g（x）的表達式，又由lgg（x）＞0，可求得函數的定義域，再由g（x）的單調性求出其在定義域內的單調區間．
解答：解：（1）∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∴-2asin（2x+）∈[-2a，a]，
∴f（x）∈[b，3a+b]，又-5≤f（x）≤1．
∴，解得．
（2）f（x）=-4sin（2x+）-1，
g（x）=f（x+）=-4sin（2x+）-1
=4sin（2x+）-1，
又由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，
∴4sin（2x+）-1＞1，
∴sin（2x+）＞，
∴+2kπ＜2x+＜π+2kπ，k∈Z，
由+2kπ＜2x+≤2kπ+，得
kπ＜x≤kπ+，k∈Z．
由+2kπ≤2x+＜π+2kπ得
+kπ≤x＜+kπ，k∈Z．
∴函數g（x）的單調遞增區間為（kπ，+kπ]（k∈Z），
單調遞減區間為[+kπ，+kπ）（k∈Z）
點評：本題考點是三角函數的最值，考查利用三角函數的最值建立方程求參數，求三角函數的最值一般需要先研究三角函數的單調性，由單調性求最值，本題求最值采用了求復合函數最值常用的方法，由內而外，逐層求解，題后要注意體會求最值的這一技巧，由于省略了討論函數單調性的過程，使得解題過程大大簡化．